Question

设函数f(x)=

x2+1

-ax，其中a＞0，
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调函数．

Answer 1

分析：（1）不等式f（x）≤1，转化为一元二次不等式组，根据a的范围求解不等式即可．
（2）当a≥1时，利用函数单调性的定义，即：在区间[0，+∞）上任取x₁，x₂，使得x₁＜x₂，证明f（x₁）-f（x₂）＞0，从而证明函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数．

解答：（1）解：不等式f（x）≤1即

x2+1

≤1+ax，
由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a＞0．
所以，原不等式等价于

x2+1≤(1+ax)2 x≥0.

即

x≥0 (a2-1)x+2a≥0

（3分）
所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0≤x≤

2a

1-a2

}；
当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}．（6分）
（2）证明：在区间[0，+∞）上任取x₁，x₂
使得x₁＜x₂f(x1)-f(x2)=

x 2 1 +1

-

x 2 2 +1

-a(x1-x2)
=

x 2 1 - x 2 2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a(x1-x2)
=(x1-x2)(

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a)．(9分)
∵

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

＜1，且a≥1，
∴

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a＜0，
又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递减函数．（12分）

点评：本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．