Question

已知向量

OP

=(2sinx，-1)，

OQ

=(cosx，cos2x)，定义函数f(x)=

OP

•

OQ

．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式，并指出其最大最小值；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出

OP

•

OQ

，第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，提取

2

后，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，进而确定出函数f（x）的最大值及最小值；
（Ⅱ）由f（A）=1，根据第一问化简得到的函数的解析式，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，由三角形为锐角三角形得到满足题意的A的度数，可得出sinA的值，再由bc的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积S．

解答：解：（Ⅰ）∵

OP

=(2sinx，-1)，

OQ

=(cosx，cos2x)，
∴f（x）=

OP

•

OQ

=2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
∵-1≤sin（2x-

π

4

）≤1，
∴f（x）的最大值为

2

，最小值为-

2

；
（Ⅱ）∵f（A）=1，
∴sin（2A-

π

4

）=

2

2

，
∴2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

，
∴A=

π

4

或A=

π

2

，又△ABC为锐角三角形，
则A=

π

4

，又bc=8，
则△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×

2

2

=2

2

．

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．