题目内容

下列关于平面向量的命题中是真命题的是
④⑤
④⑤
（写出所有你认为是真命题的序号）．
①若
a
2=
b2
，则
a
=
b
或
a
=-
b
；
②使
a
|
a
|
=
b
|
b
|
成立的充分条件是
a
∥
b
；
③若
a
，
b
都是非零向量，则“|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|”是“?λ∈R，使得
a
=λ
b
”的充分不必要条件；
④若
a
，
b
均为单位向量，其夹角为θ，则“|
a
-
b
|＞1”是“θ∈(
π
3
，π)”的充要条件；
⑤向量
a
，
b
(
a
≠
0
，
a
≠
b
)满足|
b
|=1，且
a
与
b
-
a
的夹角为150°，则|
a
|的取值范围是（0，2]．
分析：①若
a
2=
b2
，则|
a
|=|
b
|；②使
a
|
a
|
=
b
|
b
|
成立的充分条件是
a
a
与
b
同向；③“|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|”是“?λ∈R，使得
a
=λ
b
”的不充分不必要条件；④|
a
-
b
|＞1?
π
3
＜θ＜π；⑤由题设条件作出单位圆，数形结合能够作出正确判断．
解答：解：①若
a
2=
b2
，则|
a
|=|
b
|，故①错误；
②使
a
|
a
|
=
b
|
b
|
成立的充分条件是
a
∥
b
，且
a
与
b
同向，故②错误；
③若
a
，
b
都是非零向量，
“|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|”⇒“
a
⊥
b
”，
∴“|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|”是“?λ∈R，使得
a
=λ
b
”的不充分不必要条件，故③错误；
④充分性：∵
a
，
b
均为单位向量，其夹角为θ，∴0≤θ≤π，
∵|
a
-
b
|＞1，
∴
a
2+
b
2-2|
a
||
b
|cosθ=2-2cosθ＞1，
解得cosθ＜
1
2
，∴
π
3
＜θ＜π．
必要性：∵
π
3
＜θ＜π，∴cosθ＜
1
2
，
∴
a
2+
b
2-2|
a
||
b
|cosθ=2-2cosθ＞1，
∴|
a
-
b
|＞1，
故“|
a
-
b
|＞1”是“θ∈(
π
3
，π)”的充要条件，故④正确；
⑤∵
a
，
b
(
a
≠
0
，
a
≠
b
)满足|
b
|=1，且
a
与
b
-
a
的夹角为150°，
∴作出如图的单位圆，取
OB
=
b
，
OA
=
a
，必须满足∠OAB=30°，
当AB与圆O相切时，|
a
|max=|OA|=2|OB|=2，
∴|
a
|的取值范围是（0，2]，故⑤正确．

故答案为：④⑤．
点评：本题考查命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意平面向量知识的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
下列关于平面向量的叙述正确的是（　　）
关于平面向量的命题①
a
•
b
=
a
•
c
且
a
≠
0
时，必有 
b
=
c
②如
a
∥
b
时，必存在唯一实数λ使
a
=λ
b
③
a
，
b
，
c
互不共线时，
a
-
b
必与
c
不共线④
a
与
b
共线且
c
与
b
也共线时，则
a
与
c
必共线其中正确命题个数有（　　）

下列关于平面向量的叙述正确的是（　　）

　

A．

模相等的两个共线向量是相等向量

　

B．

若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

　

C．

若k∈R，且k=，则k=0或=

　

D．

若•=•，则=

关于平面向量的命题①•=•且≠时，必有 =②如∥时，必存在唯一实数λ使=λ③，，互不共线时，-必与不共线④与共线且与也共线时，则与必共线其中正确命题个数有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

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