Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2．
（1）B₁D₁与A₁D能否垂直？请证明你的判断；
（2）当∠A₁B₁C₁在上变化时，求异面直线AC₁与A₁B₁所成角的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：AC∩BD=O，分别以O₁B₁，O₁C₁，O₁O所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，（1）求出，计算说明不垂直；
（2）当∠A₁B₁C₁在上变化时，求求出，然后求，即可求异面直线AC₁与A₁B₁所成角的取值范围．
解答：解：∵菱形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁于O₁，
设AC∩BD=O，分别以O₁B₁，O₁C₁，O₁O所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，设B₁（a，0，0），C₁（0，b，0）（a²+b²=1），
则D₁（-a，0，0），A₁（0，-b，0），D（-a，0，2）
（1）∵，
∴
∴B₁D₁与A₁D不能垂直．
（2）∵∠A₁B₁C₁∈，∴，
∵A（0，-b，2）∴，
，
，
∴
∵a²+b²=1，∴设a=cosα，b=sinα，又，
∴
∴
=
=
∵2≤csc²α≤4，∴
∴直线AC₁与A₁B₁所成角的取值范围是．
点评：本题考查用向量证明垂直，异面直线及其所成的角，考查学生计算能力，是中档题．