题目内容
已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|
|=|
|=|
|，
+
+
=0，且
•
=
•
=
•
，则点O，N，P依次是△ABC的
①重心 外心 垂心 ②重心 外心 内心 ③外心 重心 垂心 ④外心 重心 内心．
| OA |
| OB |
| OC |
| NA |
| NB |
| NC |
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
③
③
．①重心 外心 垂心 ②重心 外心 内心 ③外心 重心 垂心 ④外心 重心 内心．
分析：据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有③④两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．
解答：证明：∵|
|=|
|=|
|，
∴O到三角形三个顶点的距离相等，
∴O是三角形的外心，
根据
+
+
=0时，得-
=
+
，
由平行四边形法则可得N点在BC的中线上，
同理可得N也在AB，AC的中线上，故N为△ABC的重心；
下面判断第三个条件可以得到三角形的什么心，
∵
•
=
•
=
•
，
∴
(
-
)=0，
∴
•
=0，
∴
⊥
，
同理得到另外两个向量都与边垂直，
得到P是三角形的垂心，
故答案为：③．
| OA |
| OB |
| OC |
∴O到三角形三个顶点的距离相等，
∴O是三角形的外心，
根据
| NA |
| NB |
| NC |
| NA |
| NB |
| NC |
由平行四边形法则可得N点在BC的中线上，
同理可得N也在AB，AC的中线上，故N为△ABC的重心；
下面判断第三个条件可以得到三角形的什么心，
∵
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
∴
| PB |
| PA |
| PC |
∴
| PB |
| CA |
∴
| PB |
| CA |
同理得到另外两个向量都与边垂直，
得到P是三角形的垂心，
故答案为：③．
点评：本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目，把几种三角形的心总结的比较全面，解题时注意向量的有关定律的应用，属于基础题．
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所在平面内，且
，且
，则点O，N，P依次是
|＝|
|＝|
|，
＋
＋
＝0，且
·
＝
＝
所在平面内，且
，且
，则点O，N，P依次是