Question

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前三项和S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对任意的n∈N^*恒成立，求证：λ≥

1

16

．

Answer 1

分析：（1）利用S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中项，建立方程组，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求和，可得T_n≤λa_n+1对任意的n∈N^*恒成立，等价于

n

2(n+2)

≤λ(n+2)对任意的n∈N^*恒成立，利用基本不等式，即可得到结论．

解答：（1）解：设数列{a_n}的公差为d，则
∵S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中项，
∴

3a1+3d=9 (a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d)

∵d≠0，∴d=1
∴a₁=2
∴a_n=n+1；
（2）证明：∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

∵T_n≤λa_n+1对任意的n∈N^*恒成立，
∴

n

2(n+2)

≤λ(n+2)对任意的n∈N^*恒成立，
∵

n

2(n+2)2

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

2×(4+4)

=

1

16

∴λ≥

1

16

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．