题目内容

将圆x2+y2-2x+4y=0按向量
a
=(-1,2)
平移后得到圆O,直线l与圆O相交于A、B,若在圆O上存在点C,使
OC
=
OA
+
OB
a
,求直线l的方程及对应的点C坐标.
分析:先求出平移后的圆的方程,设出直线的方程,并把它代入圆的方程利用一元二次方程根与系数的关系,求出点C的坐标的解析式,把点C的坐标代入圆的方程,可解得m值,即得点C坐标.
解答:精英家教网解:将圆的方程x2+y2-2x+4y=0化为(x-1)2+(y+2)2=5,
∴圆x2+y2-2x+4y=0按向量
a
=(-1,2)
平移后得到圆x2+y2=5,
OC
=
OA
+
OB
a
,又|
OA
|=|
OB
|=
5

∴AB⊥OC,
OC
a

∴直线l的斜率k=
1
2
,设直线l的方程为y=
1
2
x+m

y=
1
2
x+m
x2+y2=5
得 5x2+4mx+4m2-20=0,△=16m2-20(4m2-20)>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-
4m
5
y1+y2=
8m
5

OC
=(-
4m
5
8m
5
)
,∵点C(-
4m
5
8m
5
)
在圆上,∴(-
4m
5
)2+(
8m
5
)2=5

解得m=±
5
4
,满足△=16m2-20(4m2-20)>0
m=
5
4
时,l的方程为2x-4y+5=0,点C坐标为(-1,2);
m=-
5
4
时,l的方程为2x-4y-5=0,点C坐标为(1,-2).
点评:本题考查向量在几何中的应用,直线和圆相交的性质,一元二次方程根与系数的关系,体现了数形结合的数学思想.
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