Question

将圆x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=(1，-1)平移到圆O，直线l与圆O相交于点P₁，P₂两点，若在圆O上存在点P₃，使

OP1

+

OP2

+

OP3

=0，且

OP3

=λ

a

(λ∈R)，求直线l的方程．

Answer 1

分析：先求出平移后的圆的方程，设出直线的方程，并把它代入圆的方程利用一元二次方程根与系数的关系，求出点P₃的坐标的解析式，把点P₃的坐标代入圆的方程，可解得m值．

解答：解：将圆的方程x²+y²+2x-2y=0化为（x+1）²+（y-1）²=2，
∴圆x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=(1， -1)平移后得到圆x²+y²=2，
∵

OP3

=

OP1

+

OP2

=λ

a

，又 |

OP1

|=|

OP2

| =

2

，
∴P₁P₂⊥OP₃，

OP3

∥

a

，
∴直线l的斜率k=1，设直线l的方程为 y=x+m，
由

y=x+m x2+y2=2

得 2x²+2mx+m²-2=0，△=4m²-8（m²-2）＞0，
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则 x₁+x₂=-m，y₁+y₂=m
∴

OP3

=（m，n），∵点P₃（m，-m）在圆上，
∴m²+（-m）²=2
解得m=±1，满足△=4m²-8（m²-2）＞0，
当 m=1时，l的方程为x-y+1=0，
当 m=-1时，l的方程为x-y-1=0．

点评：本题考查向量在几何中的应用，直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，属中档题