Question

若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x₀不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（1）证明：函数f（x）=2^x具有性质M，并求出对应的x₀的值；
（2）已知函数h(x)=lg

a

x2+1

具有性质M，求a的取值范围

Answer 1

分析：（1）只要能找到满足定义f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）的x₀的值即可说明其成立．
（2）函数具有性质M说明存在x₀，使h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），整理成（a-2）x₀²+2ax₀+2a-2=0有实根．再分情况讨论二次项系数即可求得a的取值范围．

解答：（1）证明：f（x）=2^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得：
2x0+1=2x0+2，（2分）
即：2x0=2，解得x₀=1．（5分）
所以函数f（x）=2^x具有性质M．（6分）
（2）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0．
因为h（x）具有性质M，所以存在x₀，
使h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），
代入得：lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

．
化为2（x₀²+1）=a（x₀+1）²+a，
整理得：（a-2）x₀²+2ax₀+2a-2=0有实根．
①若a=2，得x0=-

1

2

．（8分）
②若a≠2，得△≥0，即a²-6a+4≤0，解得：a∈[3-

5

，3+

5

]，
所以：a∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．
（若未去掉a=2，扣1分）（14分）
综上可得a∈[3-

5

，3+

5

]．（16分）

点评：本题是在新定义下对函数的综合考查．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．