题目内容
已知向量









A.

B.

C.

D.1
【答案】分析:法一:可以先把向量
,
,
放入平面直角坐标系,则
=(x1,0),
=(
,y1),再用
的坐标表示
的坐标,利用
•
,可转化为含y1的式子,再看y1等于多少时,m-n有最小值即可.
法二:我们分别令
,
=
,
=
,根据由已知中,向量
,
,
满足
,
,
•
.可判断出A,B,C三点的位置关系,及m-n的几何意义,进而得到答案.
解答:解:法一:把
放入平面直角坐标系,使
起点与坐标原点重合,方向与x轴正方向一致,则
=(1,0)
设
=(x1,y1),∵
,∴x1=
,∴
=(
,y1)
设
=(x,y),则
=(1-x,-y),
=(
-x,y1-y)
∵(
)•(
)=0.∴(1-x)(
-x)-y(y1-y)=0
化简得,x2+y2-
x-y1y+
=0,也即 
点(x,y)可表示圆心在(
,
),半径为
的圆上的点,
=
,∴
最大m=
,最小值n=
.
∴m-n=
-(
)=
当y12=0时,m-n有最小值为
,
法二:解:∵
,
∴令
=
则A必在单位圆上,
又∵又向量
满足
,
∴令
=
则点B必在线段OA的中垂线上,
=
.
又∵
故C点在以线段AB为直径的圆M上,任取一点C,记
=
.
故m-n就是圆M的直径|AB|
显然,当点B在线段OA的中点时,(m-n)取最小值
即(m-n)min=
故选B.
点评:本题考查的知识点是两向量的和与差的模的最值,及向量加减法的几何意义,其中根据已知条件,判断出A,B,C三点的位置关系,及m-n的几何意义,是解答本题的关键.










法二:我们分别令












解答:解:法一:把



设





设




∵(



化简得,x2+y2-



点(x,y)可表示圆心在(








∴m-n=



当y12=0时,m-n有最小值为

法二:解:∵

∴令


又∵又向量


∴令




又∵

故C点在以线段AB为直径的圆M上,任取一点C,记


故m-n就是圆M的直径|AB|
显然,当点B在线段OA的中点时,(m-n)取最小值

即(m-n)min=

故选B.
点评:本题考查的知识点是两向量的和与差的模的最值,及向量加减法的几何意义,其中根据已知条件,判断出A,B,C三点的位置关系,及m-n的几何意义,是解答本题的关键.

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