题目内容
14．数列{an}满足a1=3，an+1•an=2n，求an．分析 取n=n+1 得另一递推式，作比后可得数列{an}的奇数项和偶数项分别构成以为公比的等比数列，然后分段求出等比数列的通项公式
解答 解：∵a1=3 an+1•an=2n，
取n=1得，${a}_{2}=\frac{2}{3}$．
由an+1•an=2n ①
得${a}_{n+2}•{a}_{n+1}={2}^{n+1}$ ②
②÷①得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=2$．
∴数列{an}的奇数项构成以3为首项，以2为公比的等比数列，
偶数项构成以$\frac{2}{3}$为首项，以2为公比的等比数列，
则当n为奇数时，${a}_{n}=3×{2}^{\frac{n-1}{2}}$；
当n为偶数时，${a}_{n}=\frac{2}{3}×{2}^{\frac{n}{2}-1}$=$\frac{1}{3}×{2}^{\frac{n}{2}}$．
综上，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3×{2}^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{\frac{1}{3}×{2}^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．
点评 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的通项公式的求法，是中档题．
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| A． | $\frac{\sqrt{2}}{64}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{64}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{128}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{128}$ |