Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用平面SCD的法向量

n

•

AM

=0即可证明AM∥平面SCD；
（Ⅱ）分别求出平面SCD与平面SAB的法向量，利用法向量的夹角即可得出；
（Ⅲ）利用线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．
则

AM

=(0，1，1)，

SD

=(1，0，-2)，

CD

=(-1，-2，0)．
设平面SCD的法向量是

n

=(x，y，z)，则

SD • n =0 CD • n =0

，即

x-2z=0 -x-2y=0

令z=1，则x=2，y=-1．于是

n

=(2，-1，1)．
∵

n

•

AM

=0-1×1+1×1=0，∴

AM

⊥

n

．
又∵AM?平面SCD，∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为

n1

=(1，0，0)．设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，
则|cosα|=

| n • n1 |

| n | | n1 |

=

2

1× 6

=

6

3

，即cosα=

6

3

．
∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为

6

3

．
（Ⅲ）设N（x，2x-2，0），则

MN

=(x，2x-3，-1)．
∴sinθ=

| n1 • MN |

| n1 | | MN |

=

|x|

5x2-12x+10

=

1

5- 12 x + 10 x2

=

1

10( 1 x - 3 5 )2+ 7 5

．

当

1

x

=

3

5

，即x=

5

3

时，(sinθ)max=

35

7

．

点评：熟练掌握建立空间直角坐标系利用平面SCD的法向量

n

•

AM

=0即可证明AM∥平面SCD、平面SCD与平面SAB的法向量的夹角求出二面角、线面角的夹角公式、二次函数的单调性是解题的关键．