Question

圆O₁的方程为x²+(y+1)²=4,圆O₂的圆心为O₂(2,1).

(1)若⊙O₂与⊙O₁外切,求圆O₂的方程,并求内公切线方程;

(2)若⊙O₂与⊙O₁交于A、B两点,且|AB|=2,求⊙O₂的方程.

Answer 1

解：(1)由两圆外切,所以|O₁O₂|=r₁+r₂.

所以r₂=|O₁O₂|-r₁=2(-1).

故圆O₂的方程是(x-2)²+(y-1)²=4(-1)².

两圆方程相减,即得两圆内公切线的方程为x+y+1-2=0.

(2)设圆O₂的方程为(x-2)²+(y-1)²=r₂².

因为圆O₁的方程为x²+(y+1)²=4,

所以两圆公共弦AB所在直线方程为4x+4y+r₂²-8=0.

作O₁H⊥AB,则|AH|=|AB|=,

在Rt△AO₁H中,

|O₁H|==,

由圆心O₁到AB的距离d==,

所以r₂²=4或r₂²=20.

所以⊙O₂的方程为(x-2)²+(y-1)²=4或(x-2)²+(y-1)²=20.