题目内容
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量
=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t).
(1)若
⊥,且
||=||,求向量
.
(2)若向量
与向量
共线,常数k>0,当f(θ)=tsinθ取最大值4时,求
•.
分析:(1)利用向量垂直的坐标表示及向量模的坐标表示,列出关于n,t的方程组,并解即可.
(2)向量
与向量
共线,得出f(θ)=tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ,根据最大值4,求出k或θ,求
•.
解答:解:(1)
=(n-8,t),∵
⊥,∴8-n+2t=0
又
||=||,∴(n-8)
2+t
2=5×64得t=±8∴
=(24,8)或(-8,-8)
(2)
=(ksinθ-8,t),
因为向量
与向量
共线,
∴t=-2ksinθ+16,f(θ)=tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=
-2k(sinθ-)2+①
当k>4时,0<<1∴
sinθ=时,tsinθ取最大值为
,
由
=4,得k=8,此时
θ=,
=(4,8)∴
•=(8,0)•(4,8)=32②
当0<k<4时,>1,
∴sinθ=1时,tsinθ取最大值为-2k+16,
由-2k+16=4,得k=6,(舍去)
综上所述,∴
•=32 点评:本题考查向量共线、垂直的坐标表示、向量的模的计算.函数最值求解,分类讨论、计算等思想方法和能力.
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