题目内容
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a |
(1)若
AB |
a |
AB |
5 |
OA |
OB |
(2)若向量
AC |
a |
OA |
OC |
分析:(1)利用向量垂直的坐标表示及向量模的坐标表示,列出关于n,t的方程组,并解即可.
(2)向量
与向量
共线,得出f(θ)=tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ,根据最大值4,求出k或θ,求
•
.
(2)向量
AC |
a |
OA |
OC |
解答:解:(1)
=(n-8,t),∵
⊥
,∴8-n+2t=0
又|
|=
|
|,∴(n-8)2+t2=5×64得t=±8∴
=(24,8)或(-8,-8)
(2)
=(ksinθ-8,t),
因为向量
与向量
共线,
∴t=-2ksinθ+16,f(θ)=tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-
)2+
①当k>4时,0<
<1∴sinθ=
时,tsinθ取最大值为
,
由
=4,得k=8,此时θ=
,
=(4,8)
∴
•
=(8,0)•(4,8)=32
②当0<k<4时,
>1,
∴sinθ=1时,tsinθ取最大值为-2k+16,
由-2k+16=4,得k=6,(舍去)
综上所述,∴
•
=32
AB |
AB |
a |
又|
AB |
5 |
OA |
OB |
(2)
AC |
因为向量
AC |
a |
∴t=-2ksinθ+16,f(θ)=tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-
4 |
k |
32 |
k |
①当k>4时,0<
4 |
k |
4 |
k |
32 |
k |
由
32 |
k |
π |
6 |
OC |
∴
OA |
OC |
②当0<k<4时,
4 |
k |
∴sinθ=1时,tsinθ取最大值为-2k+16,
由-2k+16=4,得k=6,(舍去)
综上所述,∴
OA |
OC |
点评:本题考查向量共线、垂直的坐标表示、向量的模的计算.函数最值求解,分类讨论、计算等思想方法和能力.

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