题目内容

在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量
a
=(-1,2)
,又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t).
(1)若
AB
a
,且|
AB
|=
5
|
OA
|
,求向量
OB

(2)若向量
AC
与向量
a
共线,常数k>0,当f(θ)=tsinθ取最大值4时,求
OA
OC
分析:(1)利用向量垂直的坐标表示及向量模的坐标表示,列出关于n,t的方程组,并解即可.
(2)向量
AC
与向量
a
共线,得出f(θ)=tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ,根据最大值4,求出k或θ,求
OA
OC
解答:解:(1)
AB
=(n-8,t)
,∵
AB
a
,∴8-n+2t=0
|
AB
|=
5
|
OA
|
,∴(n-8)2+t2=5×64得t=±8∴
OB
=(24,8)
或(-8,-8)
(2)
AC
=(ksinθ-8,t)

因为向量
AC
与向量
a
共线,
∴t=-2ksinθ+16,f(θ)=tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-
4
k
)2+
32
k

当k>4时,0<
4
k
<1
sinθ=
4
k
时,tsinθ取最大值为
32
k

32
k
=4,得k=8,此时θ=
π
6
OC
=(4,8)

OA
OC
=(8,0)•(4,8)=32

当0<k<4时,
4
k
>1

∴sinθ=1时,tsinθ取最大值为-2k+16,
由-2k+16=4,得k=6,(舍去)
综上所述,∴
OA
OC
=32
点评:本题考查向量共线、垂直的坐标表示、向量的模的计算.函数最值求解,分类讨论、计算等思想方法和能力.
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