题目内容
如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点,PBC为割线,,弦CD∥AP,AD、BC相交于E点,F为CE上一点,且DE2=EF•EC.
(Ⅰ)求证:∠P=∠EDF;
(Ⅱ)求证:CE•EB=EF•EP.
(Ⅰ)求证:∠P=∠EDF;
(Ⅱ)求证:CE•EB=EF•EP.
分析:(1)根据所给的乘积式和对应角相等,得到两个三角形相似,由相似得到对应角相等,再根据两直线平行内错角相等,角进行等量代换,得到要证的结论.
(2)根据第一问所得的结果和对顶角相等,得到两个三角形相似,根据三角形相似得到对应线段成比例,把比例式转化为乘积式,再根据相交弦定理得到比例式,等量代换得到结果.
(2)根据第一问所得的结果和对顶角相等,得到两个三角形相似,根据三角形相似得到对应线段成比例,把比例式转化为乘积式,再根据相交弦定理得到比例式,等量代换得到结果.
解答:证明:(1)∵DE2=EF•EC,
∴DE:CE=EF:ED.
∵∠DEF是公共角,
∴△DEF∽△CED.
∴∠EDF=∠C.
∵CD∥AP,
∴∠C=∠P.
∴∠P=∠EDF.
(2)∵∠P=∠EDF,∠DEF=∠PEA,
∴△DEF∽△PEA.
∴DE:PE=EF:EA.
即EF•EP=DE•EA.
∵弦AD、BC相交于点E,
∴DE•EA=CE•EB.
∴CE•EB=EF•EP.
∴DE:CE=EF:ED.
∵∠DEF是公共角,
∴△DEF∽△CED.
∴∠EDF=∠C.
∵CD∥AP,
∴∠C=∠P.
∴∠P=∠EDF.
(2)∵∠P=∠EDF,∠DEF=∠PEA,
∴△DEF∽△PEA.
∴DE:PE=EF:EA.
即EF•EP=DE•EA.
∵弦AD、BC相交于点E,
∴DE•EA=CE•EB.
∴CE•EB=EF•EP.
点评:本题考查三角形相似的判定和性质,考查两条直线平行的性质定理,考查相交弦定理,是一个比较简单的综合题目.
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