Question

已知数列是首项为，公比的等比数列. 设

，数列满足.

（Ⅰ）求证：数列成等差数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析.（Ⅱ） . 

（Ⅲ）或.

【解析】(I)先根据条件求出,然后可求出,再利用等差数列的定义证得为等差数列.

(II)由于,所以应采用错位相减的方法求和．

(III)先根据讨论研究{C_n}的单调性．从而求出{C_n}的最大值，然后让，再解关于m的不等式求出m的取值范围．

（Ⅰ）由已知可得，，

     

为等差数列，其中.          ------- 4分

（Ⅱ）

       ①            ②

①   - ② 得

 . 

（Ⅲ）

当时，，当时，

.

若对一切正整数恒成立，则即可

，即或.