题目内容
已知数列是首项为
,公比
的等比数列. 设
,数列
满足
.
(Ⅰ)求证:数列成等差数列;
(Ⅱ)求数列的前
项和
;
(Ⅲ)若对一切正整数
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】
(Ⅰ)见解析.(Ⅱ) .
(Ⅲ)或
.
【解析】(I)先根据条件求出,然后可求出
,再利用等差数列的定义证得
为等差数列.
(II)由于,所以应采用错位相减的方法求和.
(III)先根据讨论研究{Cn}的单调性.从而求出{Cn}的最大值,然后让
,再解关于m的不等式求出m的取值范围.
(Ⅰ)由已知可得,,
为等差数列,其中
. ------- 4分
(Ⅱ)
①
②
① - ② 得
.
(Ⅲ)
当时,
,当
时,
.
若对一切正整数
恒成立,则
即可
,即
或
.

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