题目内容
【题目】已知数列的各项均为正数,其前
项和为
,且满足
,若数列
满足
,且等式
对任意
成立.
(1)求数列的通项公式;
(2)将数列与
的项相间排列构成新数列
,设该新数列为
,求数列
的通项公式和前
项的和
;
(3)对于(2)中的数列前
项和
,若
对任意
都成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
,
;(3)
.
【解析】
(1)由4Sn=(an+1)2,n=1时,4a1,解得a1,n≥2时,4an=4(Sn﹣Sn﹣1),化为:(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,根据数列{an}的各项均为正数,可得an﹣an﹣1=2,利用等差数列的通项公式可得an.
(2)数列{bn}满足b1=2,b2=4,且等式bn2=bn﹣1bn+1对任意n≥2成立.利用等比数列的通项公式可得bn.进而得出cn,T2n.
(3)Tn≥λcn,即n2+2n+1﹣2≥λcn,对n分类讨论即可得出.
(1)由,即
,所以
,
两式相减得,,
故,
因为,所以
.
又由得
.
所以,数列是首项为
,公差为
的等差数列.
所以,数列的通项公式为
.
(2)由题意,数列是首项为
,公比为
的等比数列,故
.
所以,
数列的前
项和
,数列
的前
项和
.
所以,.
(3)当为偶数时,设
(
),由(2)知,
,
,
由,得
,
即,
设,则
,
所以,当时,
单调递增,当
时,
单调递减.
因为,当
时,
,所以,
.
所以,.
当为奇数时,设
(
),则
,
,
由,得
,即
,
设,则
,故
单调递增,
,故
.
综上,的取值范围是
.
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