Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱BB₁与底面ABC所成角为

π

3

，且侧面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（1）证明：点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点；
（2）求二面角C-AB₁-B的大小；
（3）求点C₁到平面CB₁A的距离．

Answer 1

分析：（1）过B₁点作B₁O⊥BA，说明∠B₁BA是侧面BB₁与底面ABC倾斜角，在三角形Rt△B₁OB中，计算BO=

1

2

AB，从而证明点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点；
（2）连接AB₁过点O作OM⊥AB₁，连线CM，OC，说明∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角，在Rt△OCM中，去求二面角C-AB₁-B的大小；
（3）过点O作ON⊥CM，推出ON是O点到平面AB₁C的距离，连接BC₁与B₁C相交于点H，则H是BC₁的中点，B到平面AB₁C的距离
是O到平面AB₁C距离的2倍，即可求点C₁到平面CB₁A的距离．

解答：解：（1）证明：过B₁点作B₁O⊥BA．∵侧面ABB₁A₁⊥底面ABC
∴A₁O⊥面ABC∴∠B₁BA是侧面BB₁与底面ABC倾斜角
∴∠B₁BO=

π

3

在Rt△B₁OB中，BB₁=2，∴BO=

1

2

BB₁=1
又∵BB₁=AB，∴BO=

1

2

AB∴O是AB的中点．
即点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点（4分）

（2）连接AB₁过点O作OM⊥AB₁，连线CM，OC，
∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA₁BB₁∴OC⊥平面AABB．
∴OM是斜线CM在平面AA₁B₁B的射影∵OM⊥AB₁
∴AB₁⊥CM∴∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角
在Rt△OCM中，OC=

3

，OM=

3

2

，∴tan∠OMC=

OC

OM

=2
∴∠OMC=cosC+sin2
∴二面角C-AB₁-B的大小为arctan2．（8分）

（3）过点O作ON⊥CM，∵AB₁⊥平面OCM，∴AB₁⊥ON
∴ON⊥平面AB₁C．∴ON是O点到平面AB₁C的距离
在Rt△OMC中，OC=

3

，OM=

3

2

．∴CM=

3+ 3 4

=

8

2

∴ON=

OM•OC

CM

=

3 × 3 2

15 2

=

15

5

连接BC₁与B₁C相交于点H，则H是BC₁的中点
∴B与C₁到平面ACB₁的相等．
又∵O是AB的中点∴B到平面AB₁C的距离
是O到平面AB₁C距离的2倍
是G到平面AB₁C距离为

2 15

5

.（12分）

点评：本题考查点、线、面间的距离计算，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．