Question

已知函数f（x）=λ•2^x-4^x，定义域为[1，3]．
（1）若λ=6求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在区间[1，3]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用换元法，转化为二次函数，利用配方法可求函数f（x）的值域；
（2）求导函数，转化为f′（x）=λ2^x•ln2-4^x•ln4≥0在[1，3]上恒成立，即可求得结论．

解答：解：（1）设t=2^x，∵x∈[1，3]，∴t∈[2，8]
∴λ=6时，y=-t²+6t=-（t-3）²+9，2≤t≤8
∴t=3，即x=log₂3时，y取最大值9；t=8，即x=3时，y取最小值-16，
∴函数f（x）的值域是[-16，9]；
（2）由题意，f′（x）=λ2^x•ln2-4^x•ln4≥0在[1，3]上恒成立，即λ≥2^x+1在[1，3]上恒成立
∴λ≥16．

点评：本题考查复合函数，考查函数的值域，考查恒成立问题，考查导数知识的运用，属于中档题．