题目内容

(本小题满分12分)

如图,在几何体P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AB=PA=2.

(1)当AD=2时,求证:平面PBD⊥平面PAC;

(2)若PC与AD所成角为45°,求几何体P-ABCD的体积.

 

【答案】

 (1)见解析;(2) V=×(2×2)×2=

【解析】证明面面垂直利用面面垂直的判定定理,先证明线面垂直,在空间几何体的证明中,注意线线,线面,面面之间的相互转化;第二问求体积先需要根据条件求出BC的长度,然后就可以求出体积。

解:(1)当AD=2时,四边形ABCD是正方形,则BD⊥AC,

∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD,

又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,

∵BD⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.

(2)若PC与AD成45°角,∵AD∥BC,∴∠PCB=45°.

∵BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A,

∴BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,

∴BC⊥PB,

∴∠CPB=90°-45°=45°,∴BC=PB=2

∴几何体P-ABCD的体积V=×(2×2)×2=

 

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