Question

16．设抛物线y²=4x的焦点为F，A，B两点在抛物线上，且A，B，F三点共线，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若|PF|=$\frac{3}{2}$，则M点的横坐标为2．

Answer 1

分析 求出抛物线焦点为F（1，0），准线为l：x=-1．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-1），由AB方程与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系算出算出P的坐标，根据|PF|=$\frac{3}{2}$，利用点到两点间的距离公式解出k²=2，从而算出x₁+x₂=4，进而得到答案．

解答 解：∵抛物线方程为y²=4x，
∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=-1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程消去y，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，
∴设P的坐标为（x₀，y₀），可得y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂），
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=k•$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$-2k=$\frac{4}{k}$，
得到y₀=$\frac{2}{k}$，所以x₀=$\frac{1}{{k}^{2}}$，可得M（$\frac{2}{k}$，$\frac{1}{{k}^{2}}$）．
∵|PF|=$\frac{3}{2}$，
∴$\sqrt{（1-\frac{1}{{k}^{2}}）^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，解之得k²=2，
因此x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=4，
∴M点的横坐标为$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2，
故答案为：2

点评 本题主要考查了抛物线的性质．利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，把线段长度的转化为点的横坐标的问题