Question

（本小题满分1２分）

设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是 和的等比中项．

（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明；

（Ⅲ）设集合，，且，若存在∈，使对满足 的一切正整数，不等式恒成立，求这样的正整数共有多少个？

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由已知，，且． ………………………1分

当时，，解得．    ……………………………2分

当时，有．

于是，即．

于是，即．

因为，所以．

故数列是首项为2，公差为2的等差数列，且．……………………4分

（Ⅱ）因为，则，…………………………………5分

所以…7分

（Ⅲ）由，得，所以．  …… 9分

由题设，，，…，，，，…，．

因为∈M，所以，，…，均满足条件．…………………10分

且这些数组成首项为，公差为的等差数列．                                                                     

设这个等差数列共有项，则，解得．

故集合M中满足条件的正整数共有450个．…………………………12分

 

【解析】略