Question

已知函数f（x）=x²（x-a），其中a∈R．g（x）=f（x）+f'（x）．
（I）当函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为2时，求此直线在y轴上的截距；
（II）求证：g（x）既有极大值又有极小值；
（III）若g（x）取极大值和极小值对应的x值分别在区间（-2，-1）和（3，4）内，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的导函数，求出f'（1）=3-2a，令其为2求出a的值，写出切线的方程，令方程中的x=0得到直线在y轴上的截距．
（II）求出g′（x）=3x²-2ax+6x-2a，得到其判别式大于0恒成立，即证得g（x）既有极大值又有极小值
（III）根据题意得到g′（x）=3x²-2ax+6x-2a的根的分布情况，结合二次函数图象列出不等式，求出a的范围．

解答：解：（I）f（x）=x²（x-a）=x³-ax²
f'（x）=3x²-2ax，
所以所以3-2a=2得

1

2

所以f（1）=

1

2

所以切线的方程为4x-2y-3=0
令x=0得y=-

3

2

所以此直线在y轴上的截距为-

3

2

．
（II）因为g（x））=x³-ax²+3x²-2ax
所以g′（x）=3x²-2ax+6x-2a
△=4a²+36＞0
所以g′（x）=3x²-2ax+6x-2a有两个不等根，
所以g（x）既有极大值又有极小值；
（III）因为g（x）取极大值和极小值对应的x值分别在区间（-2，-1）和（3，4）内，
所以

g′(-2)＞0 g′(-1)＜0 g′(3)＜0 g′(4)＞0

即

2a＞0 -3＜0 45-8a＜0 72-10a＞0

解之得

45

8

＜a＜

36

5

点评：解决函数的性质问题，常借助导数，利用导数求曲线的切线时，一定注意函数在切点处的导数值为曲线的切线的斜率．