题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
的方程为
，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，点
，点
是曲线上的动点，
为线段
的中点.
（1）写出曲线的参数方程，并求出点的轨迹
的直角坐标方程；
（2）已知点
，直线与曲线的交点为
，若线段
的中点为
，求线段
长度.
【答案】（1）
（
为参数）；
；（2）
.
【解析】
（1）根据圆的直角坐标方程写出曲线
的参数方程，求出点
的坐标，利用消参法求出点的轨迹的直角坐标方程；
（2）将
的参数方程
为参数）代入曲线
的直角坐标方程得
，再利用直线参数方程
的几何意义求解.
（1）
的参数方程为
为参数）.
设
，所以
，即的参数方程为
为参数），化简为直角坐标方程为.
所以点的轨迹的直角坐标方程为.
（2）直线的直角坐标方程为
，易知直线过点
，
设的参数方程为参数），将其代入曲线的直角坐标方程得，
设
对应的参数分别为
，
所以
，
所以
.
【题目】2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.
（1）完成
列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
满意 | 不满意 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 | 120 |
（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为
，求出的分布列及期望值.
参考公式：附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
【题目】已知某种新型病毒的传染能力很强，给人们生产和生活带来很大的影响，所以创新研发疫苗成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上这种新型冠状病毒的疫苗
的研发费用
（百万元）和销量
（万盒）的统计数据如下：
研发费用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 14 |
销量 | 1 | 1 | 2 | 2.5 | 4 | 4.5 |
（1）根据上表中的数据，建立关于的线性回归方程
（用分数表示）；
（2）根据所求的回归方程，估计当研发费用为1600万元时，销售量为多少？
参考公式：
，
.
