Question

已知函数f（x）=log_a（a-ka^x）（a＞0，且a≠1，k∈R）．
（1）若f（x）的图象关于直线y=x对称，且f（2）=-2log_a2，求a的值．
（2）当0＜a＜1时，若f（x）在[1，+∞）内恒有意义，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵y=log_a（a-ka^x），∴a^y=a-ka^x，∴x=，
∴f（x）的反函数为： （4分）
∵f（x）的图象关于直线y=x对称，所以原函数与反函数是同一函数．
∴恒成立，（6分）
即：恒成立，（k²-1）a^x+（1-k）a=0恒成立
∴，得：k=1，∴f（x）=log_a（a-a^x），（8分）
又∵f（2）=-2log_a2，∴，∴，
∴，∴a=，（10分）
（2）由a-ka^x＞0得k＜a^1-x，设g（x）=a^1-x，
由于0＜a＜1，∴函数g（x）=a^1-x在[1，+∞）上是单调递增函数．
∴g（x）_min=a⁰=1，
由k＜a^1-x在[1，+∞）上恒成立得k＜1．（15分）
分析：（1）由y=log_a（a-ka^x），知a^y=a-ka^x，x=，所以f（x）的反函数为：．由f（x）的图象关于直线y=x对称，知恒成立由此能求出a．
（2）由a-ka^x＞0得k＜a^1-x，设g（x）=a^1-x，由于0＜a＜1，知函数g（x）=a^1-x在[1，+∞）上是单调递增函数．所以g（x）_min=a⁰=1，由此能求出k的范围．
点评：本题考查对数函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．