Question

已知函数，f(x)＝ax3＋x2＋cx＋d是定义在R上的函数，其图象与x轴的一个交点为(2，0)，若f(x)在[－1，0]和[4，5]上是减函数，在[0，2]上是增函数． (1) 求C的值 (2) 求d的取值范围 (3) 在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x。，y。)，使得曲线y＝f(x)在点M处的切线的斜率为3?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∵f(x)在[－1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数 　　∴x=0点是f(x)的一个极值点 　　∴(0)=0而(x)=3ax2＋2x十c 　　即x=0是3ax2＋2x＋c=0的一个根 　　∴c=0 　　分析：(1)由f(x)在[－1，0]上递减，在[0，2]上递增，可得x=0是f(x)的一个极值点，便可求出c的值．
(2)	解：∵f(x)在[－1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数， 　　∴x=0点是f(x)的一个极值点， 　　∴(0)=0而(x)=3ax2＋2x十c， 　　即x=0是3ax2＋2x＋c=0的一个根． 　　∴c=0． 　　∵函数f(x)的图象过点(2，0)，∴f(2)=0． 　　∴8a＋4＋d=0，即d=－8a－4． 　　令(x)=0，得3ax2＋2x=0． 　　∴x1=0，x2=－ 　　∵f(x)在[0，2]上为增函数，在[4，5]上为减函数，∴x2∈[2，4]， 　　即≥2， 　　∴－6≤≤－3， 　　即－≤a≤．∴≤－8a≤． 　　∴－≤－8a－4≤－ 　　即－≤d≤－． 　　分析：由f(x)在[0，2]上递增，在[4，5]上递减，可得函数的另一个极值点在[2，4]上，这样就可建立相应的不等式求出d的取值范围．
(3)	解：假设存在点M(x0，y0)，使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3，则(x0)=3， 　　即3a十2x0=3． 　　∴3a＋2x0－3=0，△=4＋36a． 　　又－≤a≤，∴－12≤36a≤－6． 　　∴△=4＋36a＜0． 　　∴不存在点M(x0，y0)，使得曲线y=(x)在点M处的切线的斜率为3． 　　分析：求得f(x)在x=x0时的导数，并使其为3，这样可以建立关于x0的方程，通过判别式判断有无实根就可以确定点M是否存在．