Question

18．△ABC的三边长为3，4，5，点P为它的内切圆上一点，求以PA，PB，PC为直径的三个圆面积之和的值域．

Answer 1

分析 由△ABC是边长为3，4，5的直角三角形，点P是此三角形内切圆上一动点，建立平面直角坐标系，求三个圆的面积之和的最大值与最小值的和，转化为点P到三角形三个定点的距离的平方和的最值问题．

解答 解：建立坐标系 设A（3，0），B（0，4），C（0，0），P（x，y），△ABC内切圆半径为r．
∵三角形ABC面积 S=$\frac{1}{2}$AB×AC=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）r=12，解得 r=1，
即内切圆圆心坐标为 （1，1），
∵P在内切圆上，
∴（x-1）²+（y-1）²=1，
∵P点到A，B，C距离的平方和为 d=x²+y²+（x-3）²+y²+x²+（y-4）²=3（x-1）²+3（y-1）²-2y+19=22-2y，
显然 0≤y≤2 即 18≤d≤22，
∴$\frac{9π}{2}$≤$\frac{πd}{4}$≤$\frac{11π}{2}$，
即以PA，PB，PC为直径的三个圆面积之和的值域为[$\frac{9π}{2}$，$\frac{11π}{2}$]．

点评 考查了解析法求最值，求三个圆的面积之和的最大值与最小值的和转化为点P到三角形三个定点的距离的平方和的最值问题，体现了转化的思想方法．