题目内容

已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线没有交点,求b的取值范围;
(3)设,若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
【答案】分析:(1)因为f(x)为偶函数所以f(-x)=f(x)代入求得k的值即可;
(2)函数与直线没有交点即无解,即方程log9(9x+1)-x=b无解.令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.推出g(x)为减函数得到g(x)>0,所以让b≤0就无解.
(3)函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,即联立两个函数解析式得到方程,方程只有一个解即可.
解答:解:(1)因为y=f(x)为偶函数,所以?x∈R,f(-x)=f(x),
即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx对于?x∈R恒成立.
恒成立
即(2k+1)x=0恒成立,
而x不恒为零,所以
(2)由题意知方程即方程log9(9x+1)-x=b无解.
令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.
因为
任取x1、x2∈R,且x1<x2,则,从而
于是,即g(x1)>g(x2),
所以g(x)在(-∞,+∞)是单调减函数.
因为,所以.所以b的取值范围是(-∞,0].
(3)由题意知方程有且只有一个实数根.
令3x=t>0,则关于t的方程(记为(*))有且只有一个正根.
若a=1,则,不合,舍去;
若a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根.
或-3;但,不合,舍去;而
方程(*)的两根异号?(a-1)•(-1)<0,即-a+1<0,解得:a>1.
综上所述,实数a的取值范围{-3}∪(1,+∞).
点评:考查学生运用函数奇偶性的能力,以及函数与方程的综合运用能力.
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