Question

已知：z∈C，且|z|＝1，设u＝(3＋4i)z＋(3－4i)，

(Ⅰ)证明u是实数；

(Ⅱ)求u的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

已知z∈C，且|z|＝1，设u＝(3＋4i)z＋(3－4i)． 　　(Ⅰ)证法(一) 　　∵＝(3－4i)＋(3＋4i)z＝u 　　∴u∈R． 　　证法(二)： 　　设z＝x＋yi，则＝x－yi． 　　∴u＝(3＋4i)(x＋yi)＋(3－4i)(x－yi) 　　　　 ＝3x－4y＋(4x＋3y)i＋3x－4y－(4x＋3y)i＝6x－8y 　　∴u∈R． 　　(Ⅱ)解：由|z|＝1，可设z＝cosθ＋isinθ 　　则u＝3(z＋)＋4i(z－)＝6cosθ－8sinθ 　　 ＝10cos 　　∴u的最大值为10，u的最小值为－10．