题目内容

【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.

(1)证明:BE⊥DC;
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.

【答案】
(1)证明:∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,

以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.

∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)

=(0,1,1), =(2,0,0)

=0,

∴BE⊥DC;


(2)解:∵ =(﹣1,2,0), =(1,0,﹣2),

设平面PBD的法向量 =(x,y,z),

,得

令y=1,则 =(2,1,1),

则直线BE与平面PBD所成角θ满足:

sinθ= = =

故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为


(3)解:∵ =(1,2,0), =(﹣2,﹣2,2), =(2,2,0),

由F点在棱PC上,设 =(﹣2λ,﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),

= + =(1﹣2λ,2﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),

由BF⊥AC,得 =2(1﹣2λ)+2(2﹣2λ)=0,

解得λ=

=(﹣ ),

设平面FBA的法向量为 =(a,b,c),

,得

令c=1,则 =(0,﹣3,1),

取平面ABP的法向量 =(0,1,0),

则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足:

cosα= = =

故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为:


【解析】(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC的方向向量,根据 =0,可得BE⊥DC;(2)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(3)根据BF⊥AC,求出向量 的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识,掌握已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则

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