Question

二次函数f（x）的二次项系数为正，且对于任意实数x恒有f（2+x）=f（2-x），若f（1-2x²）＜f（1+2x-x²）则x的取值范围是

{x|-2＜x＜0}

．

Answer 1

分析：利用恒成立的等式求出二次函数的对称轴，求出f（x）的单调性；通过对二次函数配方求出不等式中两个自变量的范围；利用函数的单调性脱去法则f，求出x的范围．

解答：解：对于任意实数x恒有f（2+x）=f（2-x），
∴x=2是对称轴
∵次函数f（x）的二次项系数为正
∴f（x）在[2，+∞）递增；在（-∞，2]递减
∵1-2x²≤1；     1+2x-x²=-（x-1）²+2≤2
∵f（1-2x²）＜f（1+2x-x²）
∴1-2x²＞1+2x-x²
解得-2＜x＜0
故答案为：{x|-2＜x＜0}

点评：本题考查二次函数的对称轴、考查二次函数的单调性取决于对称轴、考查二次函数的值域的求法、考查利用函数的单调性解抽象不等式．