题目内容
定义在上的函数满足:①对任意都有:;②当时,,回答下列问题.
(1)证明:函数在上的图像关于原点对称;
(2)判断函数在上的单调性,并说明理由.
(3)证明:,.
【解析】
试题分析:(1)利用条件①,令得出,令,得出,因此是上的奇函数,其图像关于原点对称;(2)利用单调性定义进行判断,结合第(1)小题的结论进行化简和①②两个条件对结果的符号进行判断;(3)结合条件①把左边式子的第项化为,由此左边可以化为,再利用第(2)小题的结论得出,原不等式得证.
试题解析:(1)令,
令,则.
所以,在上是奇函数. 4分
(2)设,则
, 6分
而,, 7分
即当时,.
∴在上单调递减. 8分
(3)
,
,
.
. 13分
考点:函数的奇偶性、单调性,转化与化归思想.
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