题目内容
定义在
上的函数
满足：①对任意
都有：
；②当
时，
，回答下列问题．
（1）证明：函数
在
上的图像关于原点对称；
（2）判断函数
在
上的单调性，并说明理由．
（3）证明：
，
.
【解析】
试题分析：（1）利用条件①，令
得出
，令
，得出
，因此
是
上的奇函数，其图像关于原点对称；（2）利用单调性定义进行判断，结合第（1）小题的结论进行化简和①②两个条件对结果的符号进行判断；（3）结合条件①把左边式子的第
项化为
，由此左边可以化为
，再利用第（2）小题的结论得出
，原不等式得证.
试题解析：（1）令
，
令
，则
.
所以，
在
上是奇函数． 4分
（2）设
，则
， 6分
而
，
， 7分
即当
时，
．
∴
在
上单调递减． 8分
（3）
，
，
.
. 13分
考点：函数的奇偶性、单调性，转化与化归思想.
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