题目内容

(1)已知M=
3-2
2-2
,a=[4-1],试计算:M10α.
(2)已知圆C的参数方程为
x=
3
+2cosθ
y=2sinθ
(θ为参数),若P是圆C与y轴正半轴的交点,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过点P的圆C的切线的极坐标方程.
(1)矩阵M的特征多项式为:
f(λ)=λ2-λ-2=0,λ1=-1,λ2=2
λ1=-1对应的一个特征向量为:
α1
=
1
2

λ2=2对应的一个特征向量为:
α2
=
2
1
(4分)
设a=m
a1
+n
a2
,即
.
-1 
4 
.
=m
.
1 
2 
.
+n
.
2 
1 
.

m+2n=-1
2m+n=4
解得
m=3
n=-2
(5分)
M10α=3(λ1)10
α1
+(-2)(λ2)10
α2
=3(-1)10
.
1 
2 
.
+(-2)10
.
2 
1 
.
=
.
-4093 
-2042 
.
3-212
6-211

(2)圆C的参数方程为
x=
3
+2cosθ
y=2sinθ
(θ为参数),?(x-
3
)2+y2=4
(2分)
可得点P(0,1),圆C在点P(0,1)的切线为y=
3
x+1
,(5分)
y=ρsinθ
x=ρcosθ
得所求的切线的极坐标方程:ρsinθ-
3
ρcosθ=1
.(7分)
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