题目内容
15．已知数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3n（n∈N*，p为常数），a1，a2+6，a3成等差数列，则数列{an}的通项公式为${a}_{n}={3}^{n}$．分析 数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3n（n∈N*，p为常数），可得a2=3+3p，a3=3+12p．由于a1，a2+6，a3成等差数列，可得2（a2+6）=a1+a3，解得p=2，由于an+1=an+2•3n，可得当n≥2时，an-an-1=2•3n-1．利用an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1即可得出．
解答 解：∵数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3n（n∈N*，p为常数），
∴a2=a1+p•3=3+3p，a3=a2+9p=3+12p．
∵a1，a2+6，a3成等差数列，
∴2（a2+6）=a1+a3，
∴2（3+3p+6）=3+3+12p，
解得p=2，
∴an+1=an+2•3n，
∴当n≥2时，an-an-1=2•3n-1．
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2（3n-1+3n-2+…+3）+3
=2×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$+3
=3n．
故答案为：${a}_{n}={3}^{n}$．
点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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