题目内容
若函数y=f（x）=sinx+
cosx+2，x∈[0，2π），且关于x的方程f（x）=m有两个不等实数根α，β，则sin（α+β）=（ ）
| 3 |
分析：利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为y=2sin（x+
）+2，由题意可得 2sin（x+
）+2=m有两个不等实数根α，β．且这两个实数根关于直线x+
=
或直线 x+
=
对称，求出α+β的值，可得sin（α+β）的值．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
解答：解：函数y=f（x）=sinx+
cosx+2=2（
sinx+
cosx ）+2=2sin（x+
）+2．
再由x∈[0，2π）可得
≤x+
＜2π+
，故-1≤sin（x+
）≤1，故0≤f（x）≤4．
由题意可得 2sin（x+
）+2=m有两个不等实数根α，β，
且这两个实数根关于直线x+
=
或直线 x+
=
对称，
故有
=
，或
=
，故 α+β=
或 α+β=
，
故 sin（α+β）=
，
故选B．
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
再由x∈[0，2π）可得
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
由题意可得 2sin（x+
| π |
| 3 |
且这两个实数根关于直线x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
故有
α+
| ||||
| 2 |
| π |
| 2 |
α+
| ||||
| 2 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 3 |
故 sin（α+β）=
| ||
| 2 |
故选B．
点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的对称性，体现了转化的数学思想，属于中档题．
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