题目内容

以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆,恰好过正方形四边的中点,则该椭圆的离心率为
10
-
2
2
10
-
2
2
;设F1和F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
2
2
;经过抛物线y=
1
4
x2
的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1+y2=5,则线段AB的长等于
7
7
分析:设正方形边长为2,设正方形中心为原点,设椭圆的标准方程,则可知c,的a和b的关系式,进而求得BC的中点坐标代入椭圆方程,得到a和b的另一关系式,最后联立求得a,则椭圆的离心率可得;画出图形,可得
2b
c
=
3
,从而可求双曲线的离心率;利用抛物线的定义,即可确定AB的长.
解答:解:设正方形边长为2,设正方形中心为原点
则椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1

且c=
2

∴a2-b2=c2=2①
正方形BC边的中点坐标为(
1
2
1
2

代入方程得到
1
2a2
+
1
2b2
=1

联立①②解得a=
5
+1
2

∴e=
c
a
=
10
-
2
2

如图,∵
|PO|
|F1O|
=tan60°,
2b
c
=
3

∴4b2=3c2
∴4(c2-a2)=3c2
∴c2=4a2
∴e=
c
a
=2;
经过抛物线y=
1
4
x2
的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=y1+y2+2
∵y1+y2=5,∴|AB|=7
故答案为:
10
-
2
2
,2,7.
点评:本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质,考查抛物线的定义,考查学生的计算能力,属于中档题.
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