题目内容
【题目】如图1, ,
,过动点A作
,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿
将△
折起,使
(如图2所示).
(1)当的长为多少时,三棱锥
的体积最大;
(2)当三棱锥的体积最大时,设点
,
分别为棱
,
的中点,试在棱
上确定一点
,使得
,并求
与平面
所成角的大小.
【答案】(1)时,三棱锥
的体积最大.(2)当
时,
.
与平面
所成角的大小
.
【解析】试题分析:(1)设,则
.又
,所以
.由此易将三棱锥
的体积表示为
的函数,通过求函数的最值的方法可求得它的最大值.
(2)沿将△
折起后,
两两互相垂直,故可以
为原点,建立空间直角坐标系
,利用空间向量即可找到点N的位置,并求得
与平面
所成角的大小.
试题解析:(1)解法1:在如图1所示的△中,设
,则
.
由,
知,△
为等腰直角三角形,所以
.
由折起前知,折起后(如图2),
,
,且
,
所以平面
.又
,所以
.于是
,
当且仅当,即
时,等号成立,
故当,即
时,三棱锥
的体积最大.
解法2:同解法1,得.
令,由
,且
,解得
.
当时,
;当
时,
.
所以当时,
取得最大值.
故当时,三棱锥
的体积最大.
(2)以为原点,建立如图a所示的空间直角坐标系
.
由(1)知,当三棱锥的体积最大时,
,
.
于是可得,
,
,
,
,
,
且.
设,则
.因为
等价于
,即
,故
,
.
所以当(即
是
的靠近点
的一个四等分点)时,
.
设平面的一个法向量为
,由
及
,
得可取
.
设与平面
所成角的大小为
,则由
,
,可得
,即
.
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