题目内容

椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴,它的短轴长为2,过焦点与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A,B两点且|AB|=1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过定点N(1,0)的直线l交椭圆C于C、D两点,交y轴于点P,若
PC
 1
CN
PD
=λ2
DN
,求证:λ12为定值.
分析:(Ⅰ)设出椭圆方程,表示出通径,由其长等于1,结合2b=2,求解a,b的值,所以椭圆的标准方程可求;
(Ⅱ)设出直线l的方程,和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得到两交点C,D的纵坐标的和与积,结合
PC
 1
CN
PD
=λ2
DN
,求解答案.
解答:解:(Ⅰ)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1

令x=-c,代入椭圆方程得,y=±
b2
a

所以2×
b2
a
=1,2b=2,
解得a=2,b=1.
∴椭圆的标准方程为
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)设直线l的方程为x=my-1,则P点坐标为(0,
1
m

设C(x1,y1),D(x2,y2
联立直线与椭圆的方程
x=my-1
x2
4
+y2=1
,得(m2+4)y2-2my-3=0,
∴y1+y2=
2m
m2+4
,y1y2=
-3
m2+4

又∵
PC
 1
CN
PD
=λ2
DN

∴λ1=
1
m
-y1
y1
,λ2=
1
m
-y2
y2

∴λ12=
1
m
-y1
y1
+
1
m
-y2
y2
=
1
my1
+
1
my2
-2=
y1+y2
my1y2
-2=-
2
3
-2=-
8
3

即λ12为定值
点评:本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质,是高考的压轴题型,综合能力强,运算量大,属于难题.
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