题目内容
椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴,它的短轴长为2,过焦点与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A,B两点且|AB|=1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过定点N(1,0)的直线l交椭圆C于C、D两点,交y轴于点P,若
=λ 1
,
=λ2
,求证:λ1+λ2为定值.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过定点N(1,0)的直线l交椭圆C于C、D两点,交y轴于点P,若
PC |
CN |
PD |
DN |
分析:(Ⅰ)设出椭圆方程,表示出通径,由其长等于1,结合2b=2,求解a,b的值,所以椭圆的标准方程可求;
(Ⅱ)设出直线l的方程,和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得到两交点C,D的纵坐标的和与积,结合
=λ 1
,
=λ2
,求解答案.
(Ⅱ)设出直线l的方程,和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得到两交点C,D的纵坐标的和与积,结合
PC |
CN |
PD |
DN |
解答:解:(Ⅰ)设椭圆方程为
+
=1.
令x=-c,代入椭圆方程得,y=±
.
所以2×
=1,2b=2,
解得a=2,b=1.
∴椭圆的标准方程为
+y2=1;
(Ⅱ)设直线l的方程为x=my-1,则P点坐标为(0,
)
设C(x1,y1),D(x2,y2)
联立直线与椭圆的方程
,得(m2+4)y2-2my-3=0,
∴y1+y2=
,y1y2=
又∵
=λ 1
,
=λ2
,
∴λ1=
,λ2=
,
∴λ1+λ2=
+
=
+
-2=
-2=-
-2=-
即λ1+λ2为定值
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
令x=-c,代入椭圆方程得,y=±
b2 |
a |
所以2×
b2 |
a |
解得a=2,b=1.
∴椭圆的标准方程为
x2 |
4 |
(Ⅱ)设直线l的方程为x=my-1,则P点坐标为(0,
1 |
m |
设C(x1,y1),D(x2,y2)
联立直线与椭圆的方程
|
∴y1+y2=
2m |
m2+4 |
-3 |
m2+4 |
又∵
PC |
CN |
PD |
DN |
∴λ1=
| ||
y1 |
| ||
y2 |
∴λ1+λ2=
| ||
y1 |
| ||
y2 |
1 |
my1 |
1 |
my2 |
y1+y2 |
my1y2 |
2 |
3 |
8 |
3 |
即λ1+λ2为定值
点评:本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质,是高考的压轴题型,综合能力强,运算量大,属于难题.
练习册系列答案
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如图,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在轴上,长轴长是短轴
长的2倍,且经过点M. 平行于OM的直线在轴上的截距为并交椭
圆C于A、B两个不同点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求的取值范围;
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