题目内容
椭圆C的中心在原点O,它的短轴长为,相应的焦点
的准线了l与x轴相交于A,|OF1|=2|F1A|.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆C的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线l,交椭圆于P、Q两点,若点M在轴上,且使MF2为
的一条角平分线,则称点M为椭圆的“左特征点”,求椭圆C的左特征点;
(3)根据(2)中的结论,猜测椭圆的“左特征点”的位置.
(1) (2)
(3)
左准线与
轴的交点
【解析】本试题主要是运用椭圆的几何性质得到椭圆方程,然后结合新定义得到直线与 椭圆的方程联立,结合韦达定理表示,然后得到左特征点。同时利用椭圆的准线返程的得到交点,进而猜测左特征点。
(1)由条件知,可设椭圆方程为
又
(2))设左特征点为,左焦点为
,
可设直线的方程为
联立直线与椭圆方程的得到关系式,进而得到韦达定理,利用角平分线的性质得到结论。
(3)因为椭圆的左准线与
轴的交点为
,
故猜测椭圆的左特征点为左准线与
轴的交点。
解:(1)由条件知,可设椭圆方程为
又
椭圆方程为
…………4分
(2)设左特征点为,左焦点为
,
可设直线的方程为
由与
,消去
得
又设,则
①
② …………6分
因为为
的角平分线,所以
,即
③
将与
代入③化简,得
④
再将①②代入④得
即左特征点为
…………10分
(3)因为椭圆的左准线与
轴的交点为
,
故猜测椭圆的左特征点为左准线与
轴的交点. …………12分

如图,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在轴上,长轴长是短轴
长的2倍,且经过点M.
平行于OM的直线
在
轴上的截距为
并交椭
圆C于A、B两个不同点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求的取值范围;
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