题目内容

椭圆C的中心在原点O,它的短轴长为,相应的焦点的准线了l与x轴相交于A,|OF1|=2|F1A|.

(1)求椭圆的方程;

(2)过椭圆C的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线l,交椭圆于P、Q两点,若点M在轴上,且使MF2的一条角平分线,则称点M为椭圆的“左特征点”,求椭圆C的左特征点;

(3)根据(2)中的结论,猜测椭圆的“左特征点”的位置.

 

【答案】

(1)  (2)  (3) 左准线与轴的交点

【解析】本试题主要是运用椭圆的几何性质得到椭圆方程,然后结合新定义得到直线与 椭圆的方程联立,结合韦达定理表示,然后得到左特征点。同时利用椭圆的准线返程的得到交点,进而猜测左特征点。

(1)由条件知,可设椭圆方程为

(2))设左特征点为,左焦点为

可设直线的方程为

联立直线与椭圆方程的得到关系式,进而得到韦达定理,利用角平分线的性质得到结论。

(3)因为椭圆的左准线与轴的交点为

故猜测椭圆的左特征点为左准线与轴的交点。

解:(1)由条件知,可设椭圆方程为

椭圆方程为   …………4分

(2)设左特征点为,左焦点为

可设直线的方程为

,消去

又设,则

      ①     

            ②                …………6分

因为的角平分线,所以,即

       ③

代入③化简,得     

   ④

   

再将①②代入④得       

 即左特征点为                      …………10分

(3)因为椭圆的左准线与轴的交点为

故猜测椭圆的左特征点为左准线与轴的交点. …………12分

 

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