题目内容
（2013•江门一模）已知椭圆C的中心在原点O，离心率e=
，右焦点为F(
，0)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的上顶点为A，在椭圆C上是否存在点P，使得向量
+
与
共线？若存在，求直线AP的方程；若不存在，简要说明理由．
| ||
| 2 |
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的上顶点为A，在椭圆C上是否存在点P，使得向量
| OP |
| OA |
| FA |
分析：（1）设椭圆C的方程为
+
=1(a＞b＞0)，由离心率焦点坐标可得及
=
，c=
，再根据a2=b2+c2，联立方程组解出即可；
（2）假设椭圆C上是存在点P（x0，y0），使得向量
+
与
共线，由向量共线及点P在椭圆上得方程组，解出可得点P坐标，进而可求得直线AP方程；
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
| 3 |
（2）假设椭圆C上是存在点P（x0，y0），使得向量
| OP |
| OA |
| FA |
解答：解：（1）设椭圆C的方程为
+
=1(a＞b＞0)，
∵椭圆C的离心率e=
，右焦点为F(
，0)，∴
=
，c=
，
∵a2=b2+c2，∴a=2，b=1，c=
，
故椭圆C的方程为
+y2=1．
（2）假设椭圆C上是存在点P（x0，y0），使得向量
+
与
共线，
∵
+
=(x0，y0+1)，
=(-
，1)，∴
=
，即x0=-
(y0+1)，（1）
又∵点P（x0，y0）在椭圆
+y2=1上，∴
+y02=1（2），
由（1）、（2）组成方程组解得
，或
，
∴P（0，-1），或P(-
，
)，
当点P的坐标为（0，-1）时，直线AP的方程为x=0，
当点P的坐标为P(-
，
)时，直线AP的方程为
x-4y+4=0，
故椭圆上存在满足条件的点P，直线AP的方程为x=0或
x-4y+4=0．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵椭圆C的离心率e=
| ||
| 2 |
| 3 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
| 3 |
∵a2=b2+c2，∴a=2，b=1，c=
| 3 |
故椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
（2）假设椭圆C上是存在点P（x0，y0），使得向量
| OP |
| OA |
| FA |
∵
| OP |
| OA |
| FA |
| 3 |
| x0 | ||
-
|
| y0+1 |
| 1 |
| 3 |
又∵点P（x0，y0）在椭圆
| x2 |
| 4 |
| x02 |
| 4 |
由（1）、（2）组成方程组解得
|
|
∴P（0，-1），或P(-
8
| ||
| 7 |
| 1 |
| 7 |
当点P的坐标为（0，-1）时，直线AP的方程为x=0，
当点P的坐标为P(-
8
| ||
| 7 |
| 1 |
| 7 |
| 3 |
故椭圆上存在满足条件的点P，直线AP的方程为x=0或
| 3 |
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及向量共线问题，考查学生分析问题解决问题的能力．
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