题目内容
已知函数f（x）=x3+ax+b满足f（0）=f（1），又P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是其图象上不同两点．
（1）求证：曲线y=f（x）关于点（0，b）中心对称．
（2）设0≤x1＜x2，证明存在x0∈（x1，x2），使y=f（x）在点R（x0，f（x0））处的切线平行于PQ，用x1，x2表示x0，并说明x0在区间（x1，x2）中点M的左侧还是右侧．
（3）设0≤x1＜x2≤1，求证：|f（x1）-f（x2）|＜1．
（1）求证：曲线y=f（x）关于点（0，b）中心对称．
（2）设0≤x1＜x2，证明存在x0∈（x1，x2），使y=f（x）在点R（x0，f（x0））处的切线平行于PQ，用x1，x2表示x0，并说明x0在区间（x1，x2）中点M的左侧还是右侧．
（3）设0≤x1＜x2≤1，求证：|f（x1）-f（x2）|＜1．
分析：（1）利用函数f（x）=x3+ax+b满足f（0）=f（1），可得b=1+a+b，故a=-1，从而f（x）=x3-x+b．设（x0，y0）是曲线y=f（x）上任意一点，证明点（x0，y0）关于（0，b）的对称点（-x0，2b-y0）也在y=f（x）上，即可；
（2）y=f（x）在R点处的切线斜率为f′（x0）=3x02-1，又kPQ=
=x12+x1x2+x22-1，令f′（x0）=kPQ，得x0=
∈（x1，x2），故可证x0＞
，从而x0在区间（x1，x2）中点的右侧；
（3）由（2）知当0≤x1＜x2≤1时，存在x0∈（x1，x2）使PQ的斜率k=f′（x0）=3x02-1，从而|k|＜2．进而分类讨论，利用绝对值不等式的性质，即可证得．
（2）y=f（x）在R点处的切线斜率为f′（x0）=3x02-1，又kPQ=
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
|
| x1+x2 |
| 2 |
（3）由（2）知当0≤x1＜x2≤1时，存在x0∈（x1，x2）使PQ的斜率k=f′（x0）=3x02-1，从而|k|＜2．进而分类讨论，利用绝对值不等式的性质，即可证得．
解答：证明：（1）∵函数f（x）=x3+ax+b满足f（0）=f（1），
∴b=1+a+b，故a=-1，从而f（x）=x3-x+b．（1分）
设（x0，y0）是曲线y=f（x）上任意一点，则y0=f（x0）=x03-x0+b，从而2b-y0=-x03+x0+b=f（-x0），
故点（x0，y0）关于（0，b）的对称点（-x0，2b-y0）也在y=f（x）上，
再由（x0，y0）的任意性知y=f（x）的图象关于（0，b）中心对称．（4分）
（2）y=f（x）在R点处的切线斜率为f′（x0）=3x02-1，
又kPQ=
=x12+x1x2+x22-1，
由0≤x1＜x2，令f′（x0）=kPQ，得x0=
∈（x1，x2），
从而存在x0∈（x1，x2），使y=f（x）在R（x0，f（x0））处的切线平行于直线PQ．（7分）
又x12+x1x2+x22=
(x1+x2)2+
(x1-x2)2＞
(x1+x2)2，
故x0＞
，即x0在区间（x1，x2）中点的右侧．（9分）
（3）由（2）知当0≤x1＜x2≤1时，存在x0∈（x1，x2）使PQ的斜率k=f′（x0）=3x02-1，
再由x0∈（x1，x2）知x0∈（0，1），从而3x02-1∈（-1，2），于是|k|＜2．（11分）
从而对任何s，t∈[0，1]，s≠t，有|f（s）-f（t）|=k|s-t|＜2|s-t|．
当0≤x1＜x2≤1且|x1-x2|≤
时，|f（x1）-f（x2）|＜2|x1-x2|＜1；
当|x1-x2|＞
时，由0≤x1＜x2≤1知0≤x1＜
＜x2≤1，
从而|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|
＜2（|x1-0|+|1-x2|）＜2（x1+1-x2）=2-2（x2-x1）＜1．（14分）
∴b=1+a+b，故a=-1，从而f（x）=x3-x+b．（1分）
设（x0，y0）是曲线y=f（x）上任意一点，则y0=f（x0）=x03-x0+b，从而2b-y0=-x03+x0+b=f（-x0），
故点（x0，y0）关于（0，b）的对称点（-x0，2b-y0）也在y=f（x）上，
再由（x0，y0）的任意性知y=f（x）的图象关于（0，b）中心对称．（4分）
（2）y=f（x）在R点处的切线斜率为f′（x0）=3x02-1，
又kPQ=
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
由0≤x1＜x2，令f′（x0）=kPQ，得x0=
|
从而存在x0∈（x1，x2），使y=f（x）在R（x0，f（x0））处的切线平行于直线PQ．（7分）
又x12+x1x2+x22=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
故x0＞
| x1+x2 |
| 2 |
（3）由（2）知当0≤x1＜x2≤1时，存在x0∈（x1，x2）使PQ的斜率k=f′（x0）=3x02-1，
再由x0∈（x1，x2）知x0∈（0，1），从而3x02-1∈（-1，2），于是|k|＜2．（11分）
从而对任何s，t∈[0，1]，s≠t，有|f（s）-f（t）|=k|s-t|＜2|s-t|．
当0≤x1＜x2≤1且|x1-x2|≤
| 1 |
| 2 |
当|x1-x2|＞
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
从而|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|
＜2（|x1-0|+|1-x2|）＜2（x1+1-x2）=2-2（x2-x1）＜1．（14分）
点评：本题以函数为载体，考查函数的对称性，考查切线的斜率，考查绝对值不等式的运用，综合性强，有难度．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|