Question

4．设f（x）=lg（$\frac{2}{1-x}$+a）是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求函数的定义域；
（3）若x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{10}{11}$]，求f（x）的值域：

Answer 1

分析 （1）由题意，f（0）=0，即可求实数a的值；
（2）利用真数大于0，即可求函数的定义域；
（3）若x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{10}{11}$]，则$\frac{2}{1-x}$-1∈[3，21]，即可求f（x）的值域．

解答 解：（1）由题意，f（0）=0，即lg（2+a）=0，∴a=-1；
（2）f（x）=lg（$\frac{2}{1-x}$-1），由$\frac{2}{1-x}$-1＞0，可得-1＜x＜1，∴函数的定义域为（-1，1）；
（3）x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{10}{11}$]，则$\frac{2}{1-x}$-1∈[3，21]，∴f（x）的值域是[lg3，lg21]．

点评 本题考查奇函数的性质，考查函数的定义域与值域的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．