题目内容
【题目】已知椭圆
(
)的上顶点为
，左焦点为
，离心率为
，直线
与圆
相切.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设过点且斜率存在的直线
与椭圆相交于
两点，线段的垂直平分线交
轴于点
，试判断
是否为定值？并说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在，定值
，理由见解析
【解析】
（1）根据已知条件得
，
，再由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径可求得
，得出椭圆
的标准方程；
（2）设
，
，
，设直线
，联立
，消去
得
，
，
，根据弦长公式求
，
法一:由
在线段
的垂直平分线上，得
，由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得出中点的横坐标
，可求得
，可得所求的比值；
法二:求出 线段的中点和线段的垂直平分线方程，可得点的坐标，可求得，可得所求的比值；
（1）如图，
，
，，直线
的方程为
，
直线与圆
相切，
，
，
椭圆的标准方程为.
（2）设，，，
设直线，联立，消去得，
，
法一:
在线段的垂直平分线上，
，
………①
在椭圆上，
，
，
代入①得
，化简得
法二: 线段的中点为
，线段的垂直平分线为
，
令
，得
，
，
故
为定值.
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