【答案】
分析:(I)函数f(x)=x
3+

在(0,+∞)上有下界32.利用导数或基本不等式求极小值能够进行判断.
(Ⅱ)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义:定义在D上的函数f(x),如果满足:对?x∈D,?常数B,都有f(x)≤B成立,则称函数f(x)在D上有上界,其中B称为函数的上界.利用函数

在(-∞,0)上有下界及其奇偶性即可得出结论;
(Ⅲ)求导

,利用导数研究其单调性,再对字母m的值进行分类讨论,即可得到函数

是[m,n]上的有界函数.
解答:解:(Ⅰ)
解法1:∵

,由f'(x)=0得

,x
4=16,∵x∈(0,+∞),
∴x=2,-----------------------------(2分)
∵当0<x<2时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,2)上是减函数;
当x>2时,f'(x)>0,∴函数f(x)在(2,+∞)上是增函数;
∴x=2是函数的在区间(0,+∞)上的最小值点,

∴对?x∈(0,+∞),都有f(x)≥32,------------------------------------(4分)
即在区间(0,+∞)上存在常数A=32,使得对?x∈(0,+∞)都有f(x)≥A成立,
∴函数

在(0,+∞)上有下界.-----------------------------(5分)
[解法2:∵x>0∴

当且仅当

即x=2时“=”成立
∴对?x∈(0,+∞),都有f(x)≥32,
即在区间(0,+∞)上存在常数A=32,使得对?x∈(0,+∞)都有f(x)≥A成立,
∴函数

在(0,+∞)上有下界.]
(Ⅱ)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义:
定义在D上的函数f(x),如果满足:对?x∈D,?常数B,都有f(x)≤B成立,则称函数f(x)在D上有上界,其中B称为函数的上界.------------------------------(7分)
设x<0,则-x>0,由(Ⅰ)知,对?x∈(0,+∞),都有f(x)≥32,
∴f(-x)≥32,∵函数

为奇函数,∴f(-x)=-f(x)
∴-f(x)≥32,∴f(x)≤-32
即存在常数B=-32,对?x∈(-∞,0),都有f(x)≤B,
∴函数

在(-∞,0)上有上界.----------------------------(9分)
(Ⅲ)∵

,
由f'(x)=0得

,∵a>0,b>0
∴

,∵[m,n]?(0,+∞),∴

,--------------------------------(10分)
∵当

时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,

)上是减函数;
当

时,f'(x)>0,∴函数f(x)在(

,+∞)上是增函数;
∴

是函数的在区间(0,+∞)上的最小值点,

------------------------------(11分)
①当

时,函数f(x)在[m,n]上是增函数;
∴f(m)≤f(x)≤f(n)
∵m、n是常数,∴f(m)、f(n)都是常数
令f(m)=A,f(n)=B,
∴对?x∈[m,n],?常数A,B,都有A≤f(x)≤B
即函数

在[m,n]上既有上界又有下界-------------------------(12分)
②当

时函数f(x)在[m,n]上是减函数
∴对?x∈[m,n]都有f(n)≤f(x)≤f(m)
∴函数

在[m,n]上有界.-------------------------(13分)
③当

时,函数f(x)在[m,n]上有最小值f(x)
min=

令

,令B=f(m)、f(n)中的最大者
则对?x∈[m,n],?常数A,B,都有A≤f(x)≤B
∴函数

在[m,n]上有界.
综上可知函数

是[m,n]上的有界函数--------------------(14分)
点评:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.综合性强,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.