题目内容
如图(1)示,定义在D上的函数f(x),如果满足:对?x∈D,?常数A,都有f(x)≥A成立,则称函数f(x)在D上有下界,其中A称为函数的下界.(提示:图(1)、(2)中的常数A、B可以是正数,也可以是负数或零)(Ⅰ)试判断函数f(x)=x3+在(0,+∞)上是否有下界?并说明理由;
(Ⅱ)又如具有如图(2)特征的函数称为在D上有上界.请你类比函数有下界的定义,给出函数f(x)在D上有上界的定义,并判断(Ⅰ)中的函数在(-∞,0)上是否有上界?并说明理由;
(Ⅲ)若函数f(x)在D上既有上界又有下界,则称函数f(x)在D上有界,函数f(x)叫做有界函数.试探究函数f(x)=ax3+(a>0,b>0a,b是常数)是否是[m,n](m>0,n>0,m、n是常数)上的有界函数?
【答案】分析:(I)函数f(x)=x3+在(0,+∞)上有下界32.利用导数或基本不等式求极小值能够进行判断.
(Ⅱ)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义:定义在D上的函数f(x),如果满足:对?x∈D,?常数B,都有f(x)≤B成立,则称函数f(x)在D上有上界,其中B称为函数的上界.利用函数在(-∞,0)上有下界及其奇偶性即可得出结论;
(Ⅲ)求导,利用导数研究其单调性,再对字母m的值进行分类讨论,即可得到函数是[m,n]上的有界函数.
解答:解:(Ⅰ)
解法1:∵,由f'(x)=0得,x4=16,∵x∈(0,+∞),
∴x=2,-----------------------------(2分)
∵当0<x<2时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,2)上是减函数;
当x>2时,f'(x)>0,∴函数f(x)在(2,+∞)上是增函数;
∴x=2是函数的在区间(0,+∞)上的最小值点,
∴对?x∈(0,+∞),都有f(x)≥32,------------------------------------(4分)
即在区间(0,+∞)上存在常数A=32,使得对?x∈(0,+∞)都有f(x)≥A成立,
∴函数在(0,+∞)上有下界.-----------------------------(5分)
[解法2:∵x>0∴
当且仅当即x=2时“=”成立
∴对?x∈(0,+∞),都有f(x)≥32,
即在区间(0,+∞)上存在常数A=32,使得对?x∈(0,+∞)都有f(x)≥A成立,
∴函数在(0,+∞)上有下界.]
(Ⅱ)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义:
定义在D上的函数f(x),如果满足:对?x∈D,?常数B,都有f(x)≤B成立,则称函数f(x)在D上有上界,其中B称为函数的上界.------------------------------(7分)
设x<0,则-x>0,由(Ⅰ)知,对?x∈(0,+∞),都有f(x)≥32,
∴f(-x)≥32,∵函数为奇函数,∴f(-x)=-f(x)
∴-f(x)≥32,∴f(x)≤-32
即存在常数B=-32,对?x∈(-∞,0),都有f(x)≤B,
∴函数在(-∞,0)上有上界.----------------------------(9分)
(Ⅲ)∵,
由f'(x)=0得,∵a>0,b>0
∴,∵[m,n]?(0,+∞),∴,--------------------------------(10分)
∵当时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,)上是减函数;
当时,f'(x)>0,∴函数f(x)在(,+∞)上是增函数;
∴是函数的在区间(0,+∞)上的最小值点,------------------------------(11分)
①当时,函数f(x)在[m,n]上是增函数;
∴f(m)≤f(x)≤f(n)
∵m、n是常数,∴f(m)、f(n)都是常数
令f(m)=A,f(n)=B,
∴对?x∈[m,n],?常数A,B,都有A≤f(x)≤B
即函数在[m,n]上既有上界又有下界-------------------------(12分)
②当 时函数f(x)在[m,n]上是减函数
∴对?x∈[m,n]都有f(n)≤f(x)≤f(m)
∴函数在[m,n]上有界.-------------------------(13分)
③当时,函数f(x)在[m,n]上有最小值f(x)min=
令,令B=f(m)、f(n)中的最大者
则对?x∈[m,n],?常数A,B,都有A≤f(x)≤B
∴函数在[m,n]上有界.
综上可知函数是[m,n]上的有界函数--------------------(14分)
点评:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.综合性强,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
(Ⅱ)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义:定义在D上的函数f(x),如果满足:对?x∈D,?常数B,都有f(x)≤B成立,则称函数f(x)在D上有上界,其中B称为函数的上界.利用函数在(-∞,0)上有下界及其奇偶性即可得出结论;
(Ⅲ)求导,利用导数研究其单调性,再对字母m的值进行分类讨论,即可得到函数是[m,n]上的有界函数.
解答:解:(Ⅰ)
解法1:∵,由f'(x)=0得,x4=16,∵x∈(0,+∞),
∴x=2,-----------------------------(2分)
∵当0<x<2时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,2)上是减函数;
当x>2时,f'(x)>0,∴函数f(x)在(2,+∞)上是增函数;
∴x=2是函数的在区间(0,+∞)上的最小值点,
∴对?x∈(0,+∞),都有f(x)≥32,------------------------------------(4分)
即在区间(0,+∞)上存在常数A=32,使得对?x∈(0,+∞)都有f(x)≥A成立,
∴函数在(0,+∞)上有下界.-----------------------------(5分)
[解法2:∵x>0∴
当且仅当即x=2时“=”成立
∴对?x∈(0,+∞),都有f(x)≥32,
即在区间(0,+∞)上存在常数A=32,使得对?x∈(0,+∞)都有f(x)≥A成立,
∴函数在(0,+∞)上有下界.]
(Ⅱ)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义:
定义在D上的函数f(x),如果满足:对?x∈D,?常数B,都有f(x)≤B成立,则称函数f(x)在D上有上界,其中B称为函数的上界.------------------------------(7分)
设x<0,则-x>0,由(Ⅰ)知,对?x∈(0,+∞),都有f(x)≥32,
∴f(-x)≥32,∵函数为奇函数,∴f(-x)=-f(x)
∴-f(x)≥32,∴f(x)≤-32
即存在常数B=-32,对?x∈(-∞,0),都有f(x)≤B,
∴函数在(-∞,0)上有上界.----------------------------(9分)
(Ⅲ)∵,
由f'(x)=0得,∵a>0,b>0
∴,∵[m,n]?(0,+∞),∴,--------------------------------(10分)
∵当时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,)上是减函数;
当时,f'(x)>0,∴函数f(x)在(,+∞)上是增函数;
∴是函数的在区间(0,+∞)上的最小值点,------------------------------(11分)
①当时,函数f(x)在[m,n]上是增函数;
∴f(m)≤f(x)≤f(n)
∵m、n是常数,∴f(m)、f(n)都是常数
令f(m)=A,f(n)=B,
∴对?x∈[m,n],?常数A,B,都有A≤f(x)≤B
即函数在[m,n]上既有上界又有下界-------------------------(12分)
②当 时函数f(x)在[m,n]上是减函数
∴对?x∈[m,n]都有f(n)≤f(x)≤f(m)
∴函数在[m,n]上有界.-------------------------(13分)
③当时,函数f(x)在[m,n]上有最小值f(x)min=
令,令B=f(m)、f(n)中的最大者
则对?x∈[m,n],?常数A,B,都有A≤f(x)≤B
∴函数在[m,n]上有界.
综上可知函数是[m,n]上的有界函数--------------------(14分)
点评:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.综合性强,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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