题目内容

如图（1）示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，?常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图（1）、（2）中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零）

（Ⅰ）试判断函数f（x）=x³+ $数学公式$ 在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
（Ⅱ）又如具有如图（2）特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数f（x）在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在（-∞，0）上是否有上界？并说明理由；
（Ⅲ）已知某质点的运动方程为S（t）=at-2 $数学公式$ ，要使在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A= $数学公式$ 为下界的函数，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）
解法1：∵ $\text{[math]}$ ，由f'（x）=0得 $\text{[math]}$ ，x⁴=16，∵x∈（0，+∞），
∴x=2，-------------------------------
∵当0＜x＜2时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2）上是减函数；
当x＞2时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在（2，+∞）上是增函数；
∴x=2是函数的在区间（0，+∞）上的最小值点， $\text{[math]}$
∴对?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，-----------------------------------
即在区间（0，+∞）上存在常数A=32，使得对?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函数 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上有下界．---------------------------
解法2：∵x＞0∴ $\text{[math]}$
当且仅当 $\text{[math]}$ 即x=2时“=”成立
∴对?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
即在区间（0，+∞）上存在常数A=32，使得对?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函数 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上有下界．]
（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：
定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，?常数B，都有f（x）≤B成立，则称函数f（x）在D上有上界，其中B称为函数的上界．---------------------------
设x＜0，则-x＞0，由（Ⅰ）知，对?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
∴f（-x）≥32，∵函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）≥32，∴f（x）≤-32------------------------------------------
即存在常数B=-32，对?x∈（-∞，0），都有f（x）≤B，
∴函数 $\text{[math]}$ 在（-∞，0）上有上界．---------------------------
（Ⅲ）质点在t∈[0，+∞）上的每一时刻的瞬时速度 $\text{[math]}$ ----------------
依题意得对?t∈[0，+∞）有 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 对?t∈[0，+∞）恒成立
令 $\text{[math]}$ ，
∵函数g（t）在[0，+∞）上为减函数．
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．------------------------------------------------
分析：（I）解法1：利用导数确定函数的最小值，即可得出结论；
解法2：利用基本不等式求最值，即可得出结论；
（II）类比函数有下界的定义，看过函数有上界的定义，并可判断（Ⅰ）中的函数在（-∞，0）上有上界；
（III）求导函数，依题意得对?t∈[0，+∞）有 $\text{[math]}$ ，分离参数求最值，即可得出结论．
点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查导数知识的运用，考查函数的最值，属于中档题．