题目内容

已知点A、B、C是椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的三点,其中点A的坐标为(2
3
,0)
,BC过椭圆M的中心,且
CA
CB
=0
2|
CA
|=|
CB
|

(I)求椭圆M的方程;
(II)过点M(0,
3
2
)
且不垂直于坐标轴的直线l与椭圆M交于两点E、F,设D为椭圆M与y轴负半轴的交点,且|
DE
|=|
DF
|
,求直线l的方程.
分析:(I)根据点A的坐标为(2
3
,0)
,可知A是长轴端点,利用2|
CA
|=|
CB
|
且BC过椭圆M的中心,可确定C点坐标代入方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,即可求得椭圆方程;
(II)设直线l的方程为y=kx+
3
2
,由
y=kx+
3
2
x2
12
+
y2
4
=1
,消去y可得(1+3k2)x2+9kx-
21
4
=0,求出EF的中点N的坐标为(-
9k
2(1+3k2)
3
2(1+3k2)
),利用|
DE
|=|
DF
|
,可得kDN•k=-1,从而求出直线的斜率,即可求得直线l的方程.
解答:解:(I)由点A是椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的点,点A的坐标为(2
3
,0)
,可知:A是长轴端点故:a=2
3

2|
CA
|=|
CB
|
且BC过椭圆M的中心(0,0),∴|BC|=2|0C|=2|0B|,|AC|=|OC|,
CA
CB
=0
,∴AC⊥BC,∴∠AOC=
π
4

∵|OA|=2
3
,∴C点坐标为(
3
3

代入方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
得:
3
12
+
3
b2
=1

∴b2=4,b=2,
∴椭圆方程为:
x2
12
+
y2
4
=1

(II)设直线l的方程为y=kx+
3
2
,E(x1,y1),F(x2,y2
y=kx+
3
2
x2
12
+
y2
4
=1
,消去y可得(1+3k2)x2+9kx-
21
4
=0
∴x1+x2=-
9k
1+3k2
,∴y1+y2=
3
1+3k2

∴EF的中点N的坐标为(-
9k
2(1+3k2)
3
2(1+3k2)

∵D(0,-2)
kDN=
3
2(1+3k2)
+2
-
9k
2(1+3k2)
=-
7+12k2
9k

|
DE
|=|
DF
|

∴kDN•k=-1
-
7+12k2
9k
×k=-1

k2=
1
6

k=±
6
6

∴直线l的方程为y=±
6
6
x+
3
2
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是将|
DE
|=|
DF
|
,转化为kDN•k=-1进行求解.
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