题目内容
已知点A、B、C是椭圆M:
+
=1(a>b>0)上的三点,其中点A的坐标为(2
,0),BC过椭圆M的中心,且
•
=0,2|
|=|
|.
(I)求椭圆M的方程;
(II)过点M(0,
)且不垂直于坐标轴的直线l与椭圆M交于两点E、F,设D为椭圆M与y轴负半轴的交点,且|
|=|
|,求直线l的方程.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
CA |
CB |
CA |
CB |
(I)求椭圆M的方程;
(II)过点M(0,
3 |
2 |
DE |
DF |
分析:(I)根据点A的坐标为(2
,0),可知A是长轴端点,利用2|
|=|
|且BC过椭圆M的中心,可确定C点坐标代入方程
+
=1(a>b>0),即可求得椭圆方程;
(II)设直线l的方程为y=kx+
,由
,消去y可得(1+3k2)x2+9kx-
=0,求出EF的中点N的坐标为(-
,
),利用|
|=|
|,可得kDN•k=-1,从而求出直线的斜率,即可求得直线l的方程.
3 |
CA |
CB |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(II)设直线l的方程为y=kx+
3 |
2 |
|
21 |
4 |
9k |
2(1+3k2) |
3 |
2(1+3k2) |
DE |
DF |
解答:解:(I)由点A是椭圆M:
+
=1(a>b>0)上的点,点A的坐标为(2
,0),可知:A是长轴端点故:a=2
又2|
|=|
|且BC过椭圆M的中心(0,0),∴|BC|=2|0C|=2|0B|,|AC|=|OC|,
∵
•
=0,∴AC⊥BC,∴∠AOC=
,
∵|OA|=2
,∴C点坐标为(
,
)
代入方程
+
=1(a>b>0)得:
+
=1
∴b2=4,b=2,
∴椭圆方程为:
+
=1
(II)设直线l的方程为y=kx+
,E(x1,y1),F(x2,y2)
由
,消去y可得(1+3k2)x2+9kx-
=0
∴x1+x2=-
,∴y1+y2=
∴EF的中点N的坐标为(-
,
)
∵D(0,-2)
∴kDN=
=-
∵|
|=|
|
∴kDN•k=-1
∴-
×k=-1
∴k2=
∴k=±
∴直线l的方程为y=±
x+
.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
3 |
又2|
CA |
CB |
∵
CA |
CB |
π |
4 |
∵|OA|=2
3 |
3 |
3 |
代入方程
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
12 |
3 |
b2 |
∴b2=4,b=2,
∴椭圆方程为:
x2 |
12 |
y2 |
4 |
(II)设直线l的方程为y=kx+
3 |
2 |
由
|
21 |
4 |
∴x1+x2=-
9k |
1+3k2 |
3 |
1+3k2 |
∴EF的中点N的坐标为(-
9k |
2(1+3k2) |
3 |
2(1+3k2) |
∵D(0,-2)
∴kDN=
| ||
-
|
7+12k2 |
9k |
∵|
DE |
DF |
∴kDN•k=-1
∴-
7+12k2 |
9k |
∴k2=
1 |
6 |
∴k=±
| ||
6 |
∴直线l的方程为y=±
| ||
6 |
3 |
2 |
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是将|
|=|
|,转化为kDN•k=-1进行求解.
DE |
DF |

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