Question

已知直线l₁：x+a（a+1）y+1=0和直线l₂：bx+y+1=0垂直，且直线l₂分别与x轴、y轴交于点A、B；O为原点，若△AOB的面积存在最小值，则实数b的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：利用两直线垂直的条件得出字母a，b的关系式是解决本题的关键．将△AOB的面积表示为字母的函数关系，发现面积何时取到最小值进行求解实数b的取值范围．

解答：解：由两直线垂直，得出b=-a（a+1）=-a²-a，
l₂分别与x轴、y轴交于点A（-

1

b

，0）（b≠0）、B（0，-1）．
故△AOB的面积为

1

|2b|

，
若△AOB的面积存在最小值，也就是|b|=|a²+a|存在最大值，
因此b∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
故答案为：（-∞，0）∪（0，+∞）．

点评：本题考查平面解析几何中两直线垂直的等价条件，利用该等价条件得出a，b的关系之后，充分利用△AOB的面积与a，b的关系，考查学生的等价转化能力．