题目内容

(本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当时,车流速度是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时,求函数的表达式;
(Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)

解:(Ⅰ)由题意:当时,;当时,设,显然是减函数,由已知得,解得
故函数的表达式为=
(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得
时,为增函数,故当时,其最大值为
时,
当且仅当,即时,等号成立.
所以,当时,在区间取得最大值
综上,当时,在区间上取得最大值
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.

解析

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