题目内容

(理科做) 如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠DBC=90°,BC=BD=2,AB=1,则BC和平面ACD所成角的
正弦值为
 

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分析:以B为原点,以BC为x轴,以BD为y轴,以BA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线BC和平面ACD所成角的正弦值.
解答:解:在三棱锥A-BCD中,精英家教网
∵AB⊥平面BCD,∠DBC=90°,
∴以B为原点,以BC为x轴,以BD为y轴,以BA为z轴,
建立空间直角坐标系,
∵BC=BD=2,AB=1,
∴B(0,0,0),A(0,0,1),C(2,0,0),D(0,2,0),
CB
=(-2,0,0),
CA
=(-2,0,1),
CD
=(-2,2,0),
设平面ACD的法向量为
n
=(x,y,z)

n
CA
=0,
n
CD
=0,
-2x+z=0
-2x+2y=0
,∴
n
=(1,1,2),
设直线BC和平面ACD所成角为θ,
则sinθ=|cos<
CB
n
>|=|
-2
2•
6
|=
6
6

故答案为:
6
6
点评:本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要注意等价转化思想和向量法的合理运用.
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