题目内容
(理科做) 如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠DBC=90°,BC=BD=2,AB=1,则BC和平面ACD所成角的正弦值为

分析:以B为原点,以BC为x轴,以BD为y轴,以BA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线BC和平面ACD所成角的正弦值.
解答:解:在三棱锥A-BCD中,
∵AB⊥平面BCD,∠DBC=90°,
∴以B为原点,以BC为x轴,以BD为y轴,以BA为z轴,
建立空间直角坐标系,
∵BC=BD=2,AB=1,
∴B(0,0,0),A(0,0,1),C(2,0,0),D(0,2,0),
∴
=(-2,0,0),
=(-2,0,1),
=(-2,2,0),
设平面ACD的法向量为
=(x,y,z),
则
•
=0,
•
=0,
∴
,∴
=(1,1,2),
设直线BC和平面ACD所成角为θ,
则sinθ=|cos<
,
>|=|
|=
.
故答案为:
.

∵AB⊥平面BCD,∠DBC=90°,
∴以B为原点,以BC为x轴,以BD为y轴,以BA为z轴,
建立空间直角坐标系,
∵BC=BD=2,AB=1,
∴B(0,0,0),A(0,0,1),C(2,0,0),D(0,2,0),
∴
CB |
CA |
CD |
设平面ACD的法向量为
n |
则
n |
CA |
n |
CD |
∴
|
n |
设直线BC和平面ACD所成角为θ,
则sinθ=|cos<
CB |
n |
-2 | ||
2•
|
| ||
6 |
故答案为:
| ||
6 |
点评:本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要注意等价转化思想和向量法的合理运用.

练习册系列答案
相关题目