题目内容

(理科做)如图,已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是棱AA1上的一点,且A1P:PA=m:n.
(I)在AB上找出一点Q,使C1P⊥PQ;
(II)求当C1P⊥PQ时,线段AQ的长.
分析:(I)直接设出A1P=x,AP=1-x,AQ=y;根据直角三角形求出RT△C1PQ三边长,结合勾股定理即可求出点Q所满足的条件;
(II)直接由第一问的结论即可得到线段AQ的长.
解答:解:(I)设A1P=x,AP=1-x,AQ=y.
x
1-x
=
m
n
⇒x=
m
m+n
,AP=
n
m+n

∴C1P=
A1C12+A1P2
=
(
2
)
2
x2
=
2+(
m
m+n
)
2

PQ=
AP 2+AQ2
=
(
n
m+n
) 2+y 2

C1Q=
CC 12+CQ 2
=
CC 12+CB 2+BQ 2
=
12+12+(1-y) 2

因为C1P⊥PQ,
C 1P2+PQ 2=C 1Q2⇒2+(
m
m+n
)
2
+(
n
m+n
) 2
+y2=2+(1-y)2⇒y=
mn
(m+n) 2

∴当AQ=
mn
(m+n) 2
时C1P⊥PQ;
(II)由第一问得:AQ=
mn
(m+n) 2
点评:本题是中档题,考查直角三角形的利用以及长方体的性质,考查计算能力.解决本题的关键在于利用勾股定理求出AQ的长.
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